Question

19．已知点A（1，1），B（2，3），C（0，2），D（5，5）则向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影为-$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$的夹角为θ，由条件求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$ 的值，再根据向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影为|$\overrightarrow{AC}$|•cosθ，计算求得结果．

解答 解：由题意可得向量$\overrightarrow{AC}$=（-1，1），$\overrightarrow{BD}$=（3，2），∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$．
设向量$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{-3+2}{\sqrt{2}•\sqrt{13}}$=-$\frac{1}{\sqrt{26}}$．
故向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影为|$\overrightarrow{AC}$|•cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{26}}$=-$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求一个向量在另一个向量上的投影，属于基础题．