Question

4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为$\sqrt{2}$，直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y²=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则直线l的斜率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论．

解答 解：∵M在抛物线y²=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，
∴M的横坐标为$\frac{p}{2}$，∴M（$\frac{p}{2}$，p）
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
代入两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得$\frac{p（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}-\frac{2p（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．