Question

13．已知f（x）=sin（2015x+$\frac{3π}{8}$）+sin（2015x-$\frac{π}{8}$）的最大值为A，若存在实数x₁，x₂，使得对任意实数x总有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则A|x₁-x₂|的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}π}{2015}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}π}{2015}$
• C． $\frac{2π}{2015}$
• D． $\frac{4π}{2015}$

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，求得 A|x₁-x₂|的最小值．

解答 解：f（x）=sin（2015x+$\frac{3π}{8}$）+sin（2015x-$\frac{π}{8}$）=
sin2015xcos$\frac{3π}{8}$+cos2015xsin$\frac{3π}{8}$+sin2015xcos$\frac{π}{8}$-cos2015xsin$\frac{π}{8}$
=sin2015xsin$\frac{π}{8}$+cos2015xcos$\frac{π}{8}$+sin2015xcos$\frac{π}{8}$-cos2015xsin$\frac{π}{8}$
=sin2015x（sin$\frac{π}{8}$+cos$\frac{π}{8}$）+cos2015x（cos$\frac{π}{8}$-sin$\frac{π}{8}$）
=sin2015x•（$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$+$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$）+cos2015x•（$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$-$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$）
=$\sqrt{2}$sin（2015x+α），
其中，cosα=$\frac{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}{\sqrt{2}}$，sinα=$\frac{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}{\sqrt{2}}$，
故f（x） 的最大值为A=$\sqrt{2}$．
由题意可得，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2015}$，∴A|x₁-x₂|的最小值为$\frac{\sqrt{2}π}{2015}$，
故选：A．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，属于中档题．