Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a_n²，S_n，n成等差数列，a_n＞0（n∈N^*）．
（Ⅰ）写出a_n与a_n-1（n≥2）的关系式并求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1，再用数学归纳法进行证明．

解答 解：（1）∵a_n²，S_n，n成等差数列，∴2S_n=a_n²+n
∵S_n-S_n-1=a_n，∴$2{a}_{n}={a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}+1$，∴$（{a}_{n}-1）^{2}={a}_{n-1}^{2}$，∴a_n-a_n-1=±1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1
分别令n=1，2，3，得
$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}={a}_{1}^{2}+1}\\{2（{a}_{1}+{a}_{2}）={a}_{2}^{2}+2}\\{2（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}）={a}_{3}^{2}+2}\end{array}\right.$∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的结论：猜想a_n=n
（ⅰ）当n=1时，a₁=1成立；
（ⅱ）假设当n=k（k≥2）时，a_k=k．
那么当n=k+1时，
[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
这就是说，当n=k+1时也成立，
∴a_n=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．
综合（1）（2）可知对于n∈N^*，a_n=n都成立．

点评 本题主要考查数学归纳法的应用，由数列的前n项和求通项公式，属于中档题．