Question

8．已知圆M：x²+y²+x-6y+m=0
（Ⅰ）当m=$\frac{1}{4}$，过N（-$\frac{3}{2}$，-1）的直线a与圆的相交所得的弦长为4$\sqrt{2}$，求直线a的方程；
（Ⅱ）设直线l：x+2y-3=0与圆M交于P，Q两点，且与PQ为直径的圆恰好经过原点O，求m的值；
（Ⅲ）当m=$\frac{1}{4}$时，直线4x-3y-12=0与x，y轴分别交于A，B两点，在圆M上是否存在点C，使得△ABC的面积为$\frac{23}{2}$，若存在，请指出点C的个数，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在圆中，半径，半弦，弦心距构成直角三角形，因为圆的半径和半弦已知，利用勾股定理就可求出圆心到直线a的距离，再分斜率存在和不存在两种情况设出直线a的方程，利用点到直线的距离公式，求出参数的值，就可得到直线a的方程．
（Ⅱ）把圆的方程和直线的方程联立方程组，利用韦达定理，再根据$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，求得m的值，可得圆C的方程．
（Ⅲ）求出直线与坐标轴的交点，求出AB，然后结合三角形求解圆心到直线的距离，判断求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设圆心到直线a的距离为d，
∵弦长为4$\sqrt{2}$，又圆M：x²+y²+x-6y+$\frac{1}{4}$=0
圆的半径r=3，∴d=1．
①若a斜率不存在，∵过点N（-$\frac{3}{2}$，-1），即a方程为x=-$\frac{3}{2}$，
此时 圆心M（-$\frac{1}{2}$，3）到a的距离为1，所以方程x=-$\frac{3}{2}$符合题意； 
②若a斜率存在，∵过点N（-$\frac{3}{2}$，-1），
设a方程为y=k（x+$\frac{3}{2}$）+1，即kx-y+$\frac{3}{2}$k+1=0，
∵圆心M（-$\frac{1}{2}$，3）到a的距离为1，
∴$\frac{|-\frac{1}{2}k-3+\frac{3}{2}k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$
此时a方程为：6x-8y+17=0
综上得直线a方程为：x+$\frac{3}{2}$=0或6x-8y+17=0．
（Ⅱ）解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可得OP⊥OQ，即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0．
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3=0\\{x}^{2}+{y}^{2}+x-6y+m=0\end{array}\right.$可得：5x²+2x+4m-27=0，∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=$\frac{4m-27}{5}$．
再根据$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{1}{4}$（3-x₁）（3-x₂）=$\frac{5}{4}$ x₁x₂-$\frac{3}{4}$（x₁+x₂）+$\frac{9}{4}$=0，
结合前面根与系数关系表达式，代入得：
$\frac{5}{4}$•$\frac{4m-27}{5}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{4}$=0，解之得m=3．
故圆C：x²+y²+x-6y+3=0 即 （x-$\frac{1}{2}$）2+（y-3）²=$\frac{25}{4}$．
（Ⅲ）直线4x-3y-12=0与x，y轴分别交于A，B两点，A（3，0），B（0，-4），AB=5，
△ABC的面积为$\frac{23}{2}$，则C到AB的距离为：$\frac{1}{2}×5×h=\frac{23}{2}$，h=$\frac{23}{5}$，
圆M：x²+y²+x-6y+$\frac{1}{4}$=0，圆心M（-$\frac{1}{2}$，3），半径为：3；
圆心到直线的距离为：$\frac{|4×（-\frac{1}{2}）-3×3-12|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{23}{5}$，
所以圆上存在两个点，到直线的距离为：$\frac{23}{5}$．
在圆M上是存在点C，使得△ABC的面积为$\frac{23}{2}$，点C的个数为2．

点评 本题主要考查了已知切点坐标求切线方程，圆的几何性质的应用，以及点到直线的距离公式的应用．属于综合题．本题给出直线与圆相交于点P、Q，并且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求参数的值．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，