Question

17．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂ （a＜x₁＜x₂＜b），满足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f′（x₂）=$\frac{f′（b）-f′（a）}{b-a}$，则称数x₁，x₂ 为[a，b]上的“对望数”函数f（x）为[a，b]上的“对望函数”，已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+m$是[0，m]上的“对望函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，3）
• C． （2，3）
• D． （$\frac{3}{2}$，3）

Answer 1

分析 由新定义可知f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{1}{3}$m²-m，即方程x²-2x=$\frac{1}{3}$m²-m在区间（0，m）有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围．

解答 解：由题意可知，
在区间[0，m]存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜m），
满足f′（x₁）=$\frac{f（m）-f（0）}{m}$=$\frac{\frac{1}{3}{m}^{3}-{m}^{2}}{m}$=$\frac{1}{3}$m²-m，
∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+m，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x²-2x=$\frac{1}{3}$m²-m在区间（0，m）有两个解．
令g（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$m²+m，（0＜x＜m）
则$\left\{\begin{array}{l}{△=4+\frac{4}{3}{m}^{2}-4m＞0}\\{g（0）=-\frac{1}{3}{m}^{2}+m＞0}\\{g（m）=\frac{2}{3}{m}^{2}-m＞0}\\{m＞1}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{2}$＜m＜3，
∴实数m的取值范围是（$\frac{3}{2}$，3）．
故选：D．

点评 本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题．