Question

4．点F是抛物线T：x²=2py（y＞0）的焦点，F₁是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF₁的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 双曲线C的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，代入x²=2py，可得P（$\frac{2bp}{a}$，$\frac{2{b}^{2}p}{{a}^{2}}$），利用P是线段FF₁的中点，可得P（$\frac{c}{2}$，$\frac{p}{4}$），由此即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：双曲线C的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，代入x²=2py，可得P（$\frac{2bp}{a}$，$\frac{2{b}^{2}p}{{a}^{2}}$），
∵F（0，$\frac{p}{2}$），F₁（c，0）
∴线段FF₁的中点P（$\frac{c}{2}$，$\frac{p}{4}$），
∴$\frac{2bp}{a}$=$\frac{c}{2}$，$\frac{2{b}^{2}p}{{a}^{2}}$=$\frac{p}{4}$，
∴a²=8b²，
∴c²=9b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查双曲线C的离心率，考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．