Question

12．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ为参数），点P在曲线C上，以Ox为极轴建立极坐标系，点Q的极坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），则P，Q两点距离的最大值为2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将Q的坐标化为直角坐标，由两点的距离公式，结合三角函数的同角公式和配方法，以及正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：设P（cosθ，2sinθ），
Q（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$）化为直角坐标为Q（0，$\sqrt{3}$），
即有|PQ|=$\sqrt{（cosθ-0）^{2}+（2sinθ-\sqrt{3}）^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ-4\sqrt{3}sinθ+3}$
=$\sqrt{3si{n}^{2}θ-4\sqrt{3}sinθ+4}$=|$\sqrt{3}$sinθ-2|，
由-1≤sinθ≤1，
即有sinθ=-1，|PQ|取得最大值2+$\sqrt{3}$．
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查三角函数的化简和求值，运用正弦函数的值域是解题的关键．