Question

17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．
（1）求⊙P的半径（用θ表示）；
（2）求⊙Q的半径的最大值．

Answer 1

分析 （1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r_P、r_Q．可得|OP|=80-r_P，由此求得r_P的解析式．
（2）由|PQ|=r_P+r_Q，求得r_Q=$\frac{80sinθ（1-sinθ）}{{（1+sinθ）}^{2}}$ （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r_Q=80（-1-$\frac{2}{{t}^{2}}$+$\frac{3}{t}$），再利用二次函数的性质求得它的最大值．

解答 解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，
记⊙P、⊙Q的半径分别为r_P、r_Q．
∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80-r_P，
∴$\frac{{r}_{p}}{sinθ}$+r_P=80，∴r_P=$\frac{80sinθ}{1+sinθ}$  （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
（2）∵|PQ|=r_P+r_Q，∴|OP|-|OQ|=$\frac{{r}_{p}}{sinθ}$-$\frac{{r}_{Q}}{sinθ}$=r_P+r_Q，
∴r_Q=$\frac{80sinθ（1-sinθ）}{{（1+sinθ）}^{2}}$  （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
令t=1+sinθ∈（1，2），∴r_Q=80•$\frac{（t-1）（2-t）}{{t}^{2}}$=80（-1-$\frac{2}{{t}^{2}}$+$\frac{3}{t}$），
令m=$\frac{1}{t}$∈（$\frac{1}{2}$，1），r_Q=80（-2m²+3m-1），∴m=$\frac{3}{4}$时，有最大值10．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于中档题．