Question

8．已知函数①f（x）=x+1；②f（x）=2^x-2；③f（x）=$\frac{1}{x}$；④f（x）=lnx；⑤f（x）=cosx；其中对于f（x）定义域内的任意x₁，都存在x₂，使得f（x₁）f（x₂）=-x₁x₂成立的函数是（　　）

• A． ①③
• B． ②⑤
• C． ③⑤
• D． ②④

Answer 1

分析 由题意得到对函数f（x）图象上任意一点A（x₁，f（x₁）），都存在一点B（x₂，f（x₂）），使OA⊥OB，对于①根据斜率即可判断，对于③④利用反证即可证明，对于②⑤举例即可．

解答 解：由f（x₁）f（x₂）+x₁x₂=0知，对函数f（x）图象上任意一点A（x₁，f（x₁）），
都存在一点B（x₂，f（x₂）），使OA⊥OB，若斜率存在则k_OAk_OB=-1，
对于①f（x）=x+1，无论两个点如何取，OA和OB的斜率均等于1，故①不成立，
对于②f（x）=2^x-2；若x₁=1，则f（x₁）=0，若x₂=0，则f（x₂）=-1，则f（x₁）f（x₂）=-x₁x₂成立，故②成立；
对于③f（x）=$\frac{1}{x}$；若f（x₁）f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-x₁x₂⇒（x₁x₂）²=-1，不成立，故③不成立；
对于④f（x）=lnx，则f′（x）=$\frac{1}{x}$；k_OA=$\frac{1}{{x}_{1}}$，k_OB=$\frac{1}{{x}_{2}}$，则k_OAk_OB=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，故④不成立，
对于⑤f（x）=cosx，若x₁=0，则f（x₁）=1，若x₂=$\frac{π}{2}$，则f（x₂）=0，则f（x₁）f（x₂）=-x₁x₂成立，故⑤成立；
符合条件的有②⑤；
故选：B．

点评 本题考查了常见函数的图象和性质，以及反证法，属于中档题．