Question

13．设函数f（x）=$\frac{1}{x+a}$+2lnx，其中a≠0，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{{x}^{2}+x-1}{{e}^{x}}$+m，求证：当a=-1，x∈（1，+∞）时，对任意的m＜$\frac{8}{5}$，总有f（x）＞g（x）

Answer 1

分析 （1）对函数进行求导，得到一个二次函数的求根问题，讨论△得出单调区间；
（2）利用函数单调性得出函数得最值，从而求得恒成立问题的解决．

解答 解：（Ⅰ），$f'（x）=-\frac{1}{（x+a）^{2}}+\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+（4a-1）x+2{a}^{2}}{x（x+a）^{2}}（x＞0，x≠-a）$
△=（4a-1）²-16a²=1-8a．…（1分）
①当$a≥\frac{1}{8}$时，△≤0，从而f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜$\frac{1}{8}$时，△＞0．设方程2x²+（4a-1）x+2a²=0的两根分别为x₁，x₂，其中${x}_{1}=\frac{-（4a-1）-\sqrt{1-8a}}{4}$，${x}_{2}=\frac{-（4a-1）+\sqrt{1-8a}}{4}$．
因为${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1-4a}{2}＞0$，${x}_{1}{x}_{2}={a}^{2}＞0$，所以x₁＞0，x₂＞0，f'（x）＞0?x＜x₁或x＞x₂，所以f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；

③当a＜0时，${x}_{1}-（-a）=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4}＜0$，${x}_{2}-（-a）=\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}＞0$，所以
0＜x₁＜-a，x₂＞-a＞0，所以f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，-a）和（-a，x₂）上单调递减．…（7分）
（Ⅱ）证明：当a=-1时，$f（x）=\frac{1}{x-1}+2lnx$，由（I）知f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$和（2，+∞）上单调递增，在（$\frac{1}{2}，1$）和（1，2）上单调递减．
所以在（1，+∞）上，f（x）_min=f（2）=1+2ln2．…（9分）
因为$g'（x）=\frac{-{x}^{2}+x+2}{{e}^{x}}=\frac{-（x+1）（x-2）}{{e}^{x}}$，所以在（1，+∞）上，$g（x）_{max}=g（2）=\frac{5}{{e}^{2}}+m$．…（11分）
因为$1+2ln2=1+ln4＞1+ln{e^{\frac{4}{3}}}=1+\frac{4}{3}＞2.3$，
当$m＜\frac{8}{5}$时，$\frac{5}{e^2}+m＜\frac{5}{{{{2.7}^2}}}+\frac{8}{5}＜2.3$．
所以当a=-1，x∈（1，+∞）时，对任意的$m＜\frac{8}{5}$，总有f（x）＞g（x）．…（13分）

点评 本题主要考查函数求导求单调区间的方法和利用函数求最值方法证明相关问题的方法，在高考中属于常考题型，中档题．