Question

4．如图，在半径为$\sqrt{7}$的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．
（1）求证相交弦定理：AP•PB=PD•PC；
（2）求圆心O到弦CD的距离．

Answer 1

分析 （1）证明△APC∽△DPB，可得AP•PB=PD•PC；
（2）利用垂径定理、勾股定理，即可求圆心O到弦CD的距离．

解答 （1）证明：连接AC，DB，则有∠ACP=∠ABD，∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{PC}{PB}$，
∴AP•PB=PD•PC；
（2）解：由（1）知，AP•PB=PD•PC，可得2×2=1×PC，
∴PC=4，
过O作OM⊥CD于点M，由圆的性质可知CM=2.5，
在△OMC中，d=$\sqrt{7-2．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查垂径定理、勾股定理，考查学生的计算能力，比较基础．