Question

14．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=5，AD=4，BD=3，将△BCD沿着BD翻折到平面BC₁D处（不与平面ABCD重合），E，F分别为对边AB，C₁D的中点，
（Ⅰ）求证：EF⊥BD；
（Ⅱ）若异面直线EF，BC₁所成的角为30°，求二面角C₁-AB-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结CC₁，并取CC₁的中点M，连结FM，BM，证明BD⊥平面BCC₁，即可证明：EF⊥BD；
（Ⅱ）取BC的中点N，过N作线段AB的垂线交AB的延长线于点H．由（Ⅰ）知，异面直线EF，BC₁所成的角为∠C₁BM，故∠C₁BM=30°，证明∠C₁HN为二面角C₁-AB-D的平面角，即可求二面角C₁-AB-D的平面角的正切值．

解答 （Ⅰ）证明：连结CC₁，并取CC₁的中点M，连结FM，BM．
因为F分别为C₁D的中点，所以，FM∥DC且FM=$\frac{1}{2}$DC；
因为四边形ABCD为平行四边形，所以，DC∥AB，DC=AB；
又E分别为AB的中点，所以，FM∥EB，FM=EB，
即四边形FMDE为平行四边形；…（3分）
所以，EF∥MB．
因为AB=5，AD=4，BD=3，；
所以，BD⊥AD，BD⊥BC，BD⊥BC₁；
所以，BD⊥平面BCC₁．
又因为BM?平面BCC₁，所以BD⊥BM，BD⊥EF．…（6分）
（Ⅱ）解：取BC的中点N，过N作线段AB的垂线交AB的延长线于点H．
由（Ⅰ）知，异面直线EF，BC₁所成的角为∠C₁BM，故∠C₁BM=30°；
因为BC=BC₁，M为CC₁的中点，所以，∠C₁BC=60°，即△C₁BC为正三角形．
所以C₁N⊥BC．…（9分）
又BD⊥平面BCC₁，所以，平面ABCD⊥平面BCC₁；
因为平面ABCD∩平面BCC₁=BC，
所以C₁N⊥平面ABCD，所以C₁N⊥AB；
所以，∠C₁HN为二面角C₁-AB-D的平面角．…（12分）
在Rt△C₁NH中，C₁N=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，NH=NB•sin∠NBH=$\frac{1}{2}$BC•$\frac{BD}{AB}$=$\frac{6}{5}$，
所以，tan∠C₁HN=$\frac{{C}_{1}N}{NH}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
即二面角C₁-AB-D的平面角的正切值为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．…（15分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．