Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C经过点（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上的动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0），其中点P在x轴上的射影为点N，点P关于原点O的对称点为点Q，求△PQN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题得 $\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$且b=1，∴a²=4，求得椭圆的标准方程=．
（Ⅱ）依题得，P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），N（x₀，0），由面积公式求得，再利用均值不等式得到结论．

解答 解：（Ⅰ）解：依题得 $\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$且b=1，∴a²=4，…（4分）
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）依题得，P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），N（x₀，0），…（6分）
又因为${S_{△PQN}}={S_{△PON}}+{S_{△ONQ}}=\frac{1}{2}|{ON}||{{y_p}-{y_Q}}|=|{{x_0}{y_0}}|$…（9分）
又∵$1=\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2≥2\sqrt{\frac{{{x_0}^2}}{4}•{y_0}^2}=|{{x_0}•{y_0}}|$…（12分）
即|x₀•y₀|≤1当且仅当$|{x_0}|=\sqrt{2}$，$|{y_0}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时等号成立∴△PQN的面积最大值为1…（14分）

点评 本题主要考查椭圆中得三角形面积最值问题，属于常考题型，中档题型．