Question

1£®Èçͼ£¬ÔÚÈýÀâÖùABC-A₁B₁C₁ÖУ¬A₁A¡Íµ×ÃæABC£¬AB¡ÍAC£¬E·Ö±ðÊÇA₁B₁£¬CC₁µÄÖе㣮
£¨¢ñ£©ÓûùÏòÁ¿$\overrightarrow{A{A}_{1}}$£¬$\overrightarrow{A{B}_{1}}$£¬$\overrightarrow{A{C}_{1}}$±íʾÏòÁ¿$\overrightarrow{DE}$£»
£¨¢ò£©ÈôAB=AC=AA₁=1£¬ÇóÖ±ÏßDEÓëƽÃæAB₁C₁Ëù³É½ÇµÄÕýÏÒÖµ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨¢ñ£©ÀûÓÃÏòÁ¿µÄ·Ö½âºÍºÏ³É±íʾÏòÁ¿$\overrightarrow{DE}$£®
£¨¢ò£©½¨Á¢¿Õ¼äÖ±½Ç×ø±êϵ£¬Ð´³öµãµÄ×ø±ê£¬ÀûÓÃÏòÁ¿µÄÊýÁ¿»ýÇó³öÏßÃæ¼äµÄÕýÏÒÖµ

½â´ð ½â£º£¨¢ñ£©$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{D{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}+£¨\overrightarrow{A{C}_{1}}-\overrightarrow{A{A}_{1}}£©-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=$\frac{1}{2}£¨\overrightarrow{A{A}_{1}}-\overrightarrow{A{B}_{1}}£©+£¨\overrightarrow{A{C}_{1}}-\overrightarrow{A{A}_{1}}£©-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=-$\overrightarrow{A{A}_{1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{B}_{1}}+\overrightarrow{A{C}_{1}}$
£¨¢ò£©ÈçͼËùʾ½¨Á¢¿Õ¼äÖ±½Ç×ø±êϵ£¬ÔòµãB₁£¨1£¬0£¬1£©C₁£¨0£¬1£¬1£©D£¨$\frac{1}{2}$£¬0£¬1£©£¬E£¨0£¬1£¬2£©
Éè$\overrightarrow{n}=£¨x£¬y£¬z£©$ΪƽÃæAB₁C₁µÄ·¨ÏòÁ¿£¬Ôò$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$
ÒòΪ$\overrightarrow{A{B}_{1}}=£¨1£¬0£¬1£©£¬\overrightarrow{A{C}_{1}}=£¨0£¬1£¬1£©$Ôò$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$£¬
È¡x=1£¬Ôò$\overrightarrow{n}=£¨1£¬1£¬-1£©$
ÒòΪ$\overrightarrow{DE}=£¨-\frac{1}{2}£¬1£¬-\frac{1}{2}£©$£¬Ôò$cos£¼\overrightarrow{DE}£¬\overrightarrow{n}£¾=\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
ËùÒÔÖ±ÏßDEÓëƽÃæAB₁C₁Ëù³ÉµÄ½ÇµÄÕýÏÒֵΪ$\frac{\sqrt{2}}{3}$

µãÆÀ ±¾ÌâÖ÷Òª¿¼²é¿Õ¼äÏòÁ¿µÄ·Ö½âºÏ³ÉºÍ¿Õ¼äÖ±½Ç×ø±êϵÔÚÁ¢Ì弸ºÎÖеÃÓ¦Óã¬Êô³£¿¼ÌâÐÍ¡¢ÖеµÌ⣮