Question

14．如图，设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，P是抛物线上一定点，其坐为（x₀，y₀）（x₀≠0），Q为线段OF的垂直平分线上一点，且点Q到抛物线的准线l的距离为$\frac{3}{2}$．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB，分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值-$\frac{2}{{y}_{0}}$，求证：直线PA、PB的倾斜角互补．

Answer 1

分析 （1）∵抛物线的方程为y²=2px，∴得到直线l的方程，再利用点Q在线段OF的垂直平分线上的条件得出结论．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{2}{{y}_{0}}$⇒y₁+y₂=-2y₀，因为点A，B，P均在抛物线y2=4x上，所以有${x}_{1}=\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{x}_{2}=\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，${x}_{0}=\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$，把它们分别代入即可．

解答 解：（1）∵抛物线的方程为y²=2px，∴直线l的方程为$x=-\frac{p}{2}$…（1分）
又∵点Q在线段OF的垂直平分线上，且F为抛物线y²=2px的焦点，
∴点Q的横坐标为$\frac{p}{4}$．…（2分）
又∵点Q到抛物线的准线l的距离为$\frac{3}{2}$，∴$\frac{3}{4}p=\frac{3}{2}$，即p=2．
∴抛物线的方程为y²=4x．…（5分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则${k}_{AB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
又因为点A，B均在抛物线y²=4x上，所以有${x}_{1}=\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{x}_{2}=\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，
所以${k}_{AB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
故由已知得，$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{2}{{y}_{0}}$⇒y₁+y₂=-2y₀（*）…（7分）
又由已知易知x₁≠x₀，x₂≠x₀，所以有${k}_{PA}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}，{k}_{PB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$
从而有${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$，（**）…（8分）
又因为点A，B，P均在抛物线y2=4x上，所以有${x}_{1}=\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{x}_{2}=\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，${x}_{0}=\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$，把它们分别代入（**）式，并化简可得：
${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}+\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=$\frac{4（{y}_{2}+{y}_{0}）+4（{y}_{1}+{y}_{0}）}{（{y}_{1}+{y}_{0}）（{y}_{2}+{y}_{0}）}=\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}+2{y}_{0}）}{（{y}_{1}+{y}_{0}）（{y}_{2}+{y}_{0}）}$…（10分）
把（*）代入，可得${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}+2{y}_{0}）}{（{y}_{1}+{y}_{0}）（{y}_{2}+{y}_{0}）}=0$
故直线PA、PB的倾斜角互补…（12分）

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，计算量很大，属于难题，高考中常作压轴题．