Question

1．已知离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1的两个焦点为F₁，F₂，点P在此双曲线上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则点P到x轴的距离等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 设出点P坐标（x，y），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值．

解答 解：设点P（x，y），
离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，可得a=2，F₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂
∴$\frac{y-0}{x+\sqrt{5}}•\frac{y-0}{x-\sqrt{5}}=-1$，
∴x²+y²=5，
代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
∴$\frac{5-{y}^{2}}{4}$-y²=1，
∴|y|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴P到x轴的距离是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的运用，属于基础题．