Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（A）=4且a=2，求角A及△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式即可求出f（x）=4$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），从而求得最小正周期$T=\frac{2π}{2}$；
（Ⅱ）由f（A）=4即可得到$sin（2A-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据A为锐角，可求2A-$\frac{π}{4}$的范围，从而可求出A=$\frac{π}{4}$，从而由余弦定理可得到$4={b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc$，由基本不等式b²+c²≥2ab即可求出$bc≤4+2\sqrt{2}$，而△ABC的面积为$\sqrt{2}bc$，从而求出该面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）-2=6sin²x-2cos²x+8sinxcosx-2
=4（1-cos2x）+4sin2x-4=4sin2x-4cos2x
=$4\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$；
∴$T=\frac{2π}{2}=π$；
即f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（A）=$4\sqrt{2}sin（2A-\frac{π}{4}）=4$；
∴$sin（2A-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∵$0＜A＜\frac{π}{2}$；
∴$-\frac{π}{4}＜2A-\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$；
∴$2A-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，A=$\frac{π}{4}$；
又a=2，a²=b²+c²-2bccosA；
∴$4={b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc$；
b²+c²≥2bc；
$4={b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc≥（2-\sqrt{2}）bc$；
∴$bc≤2（2+\sqrt{2}）$，当b=c=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$时取“=“；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$≤$\frac{1}{2}×2（2+\sqrt{2}）×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}+1$；
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{2}+1$．

点评 考查二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式，求三角函数周期的公式，已知三角函数值能求角，以及余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式．