Question

11．给出下列命题：①若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0，则$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的夹角为钝角；②若$\overrightarrow a$=（x₁，y₁），$\overrightarrow b$=（x₂，y₂），则$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$?$\frac{x_1}{x_2}$=$\frac{y_1}{y_2}$；③若{${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$}为空间的一组基底，则对于实数x、y、z满足x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$+z$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$时，x²+y²+z²=0；④|$\overrightarrow p$+$\overrightarrow q$|•|$\overrightarrow p$-$\overrightarrow q$|=|${\overrightarrow p^2}$-${\overrightarrow q^2}$|；⑤$\overrightarrow p$在基底{$\overrightarrow i$，$\overrightarrow j$，$\overrightarrow k$}下的坐标为（1，2，3），则在基底{$\overrightarrow i$+$\overrightarrow j$，$\overrightarrow j$+$\overrightarrow k$，$\overrightarrow k$+$\overrightarrow i$}下的坐标为（0，2，1）．
其中正确的是③⑤（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析 举例说明①②错误；利用空间向量基本定理说明③正确；展开平面向量的数量积运算结合基本不等式说明④错误；利用坐标写出向量$\overrightarrow{p}$，进行等价转换后说明⑤正确．

解答 解：对于①，当$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的夹角为π时，$\overrightarrow a•\overrightarrow b＜0$，命题不正确；
对于②，当$\overrightarrow b=\overrightarrow 0$时命题不正确；
对于③，∵{${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$}为空间的一组基底，∴${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$为空间中三个非零且不共面的向量，
若实数x、y、z满足x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$+z$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，则x=y=0，即x²+y²+z²=0，命题正确；
对于④，$|{\overrightarrow p^2}-{\overrightarrow q^2}|=|{（\overrightarrow p+\overrightarrow q）•（\overrightarrow p-\overrightarrow q）}|$=$|\overrightarrow p+\overrightarrow q|•|\overrightarrow p-\overrightarrow q||cos＜\overrightarrow p+\overrightarrow q，\overrightarrow p-\overrightarrow q＞|$
≤$|\overrightarrow p+\overrightarrow q|•|\overrightarrow p-\overrightarrow q|$，当$\overrightarrow p+\overrightarrow q$与$\overrightarrow p-\overrightarrow q$同向共线时取等号，命题不正确；
对于⑤，$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow i，\overrightarrow j，\overrightarrow k}\right\}$下的坐标为（1，2，3），即$\overrightarrow p=\overrightarrow i+2\overrightarrow j+3\overrightarrow k=0（\overrightarrow i+\overrightarrow j）+2（\overrightarrow j+\overrightarrow k）+1（\overrightarrow k+\overrightarrow i）$，命题正确．
∴正确的命题是③⑤．
故答案为：③⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了平面向量的基本概念，是中档题．