Question

3．已知动点A在椭圆 C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）上，动点B在直线 x=-2上，且满足 $\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点），椭圆C上点 $M（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，3）$到两焦点距离之和为 4$\sqrt{3}$
（I）求椭圆C方程．
（Ⅱ）求|AB|取最小值时点A的坐标．

Answer 1

分析 （I）通过$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，计算即得结论；
（Ⅱ）通过设A（x₀，y₀），B（-2，t）（t∈R），利用 $\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$可得t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$，利用两点间距离公式及基本不等式计算即得结论．

解答 解：（I）根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=12，b²=3，
∴椭圆C方程为：$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由题意可设A（x₀，y₀），B（-2，t）（t∈R），
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-2x₀+ty₀=0，即t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∵动点A在椭圆C上，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}=1$，∴${{x}_{0}}^{2}$=3-$\frac{1}{4}$${{y}_{0}}^{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+（{y}_{0}-t）^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+4+{{y}_{0}}^{2}-2t{y}_{0}+{t}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}+4}$
=$\sqrt{6+\frac{3}{4}{{y}_{0}}^{2}+\frac{12}{{{y}_{0}}^{2}}}$$≥2\sqrt{3}$，
当且仅当$\frac{3}{4}{{y}_{0}}^{2}$=$\frac{12}{{{y}_{0}}^{2}}$，即y₀=±2时，|AB|取最小值，
∵${{x}_{0}}^{2}$=3-$\frac{1}{4}$${{y}_{0}}^{2}$，∴x₀=±$\sqrt{2}$，
∴点A的坐标为（$\sqrt{2}$，-2），（$\sqrt{2}$，2），（-$\sqrt{2}$，-2）或（-$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题考查求椭圆的方程，考查求线段的最小值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．