Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x，数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求a₂，a₃；
（Ⅱ）  证明：a_n+1＞$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{7}{8}$；
（Ⅲ）  求证：$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2+{a}_{1}}$+$\frac{1}{2+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2+{a}_{n}}$＜1（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1、2代入已知的式子求出a₂，a₃；
（Ⅱ）由递推公式化简a_n+1-a_n并判断出数列的单调性，由首项的值确定其它项的范围；利用作差法和放缩法证明不等式成立；
（Ⅲ）由递推公式化简$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{\frac{1}{2}{a}_{n}^{2}+{a}_{n}}$，利用裂项相消法求出式子的表达式，利用（Ⅱ）的结论和n的范围进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）因为a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），且f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x，
所以令n=2得，${a}_{2}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，
同理可得${a_3}=\frac{21}{8}$．…（2分）
证明：（Ⅱ） 因为a₂，a₃，…a_n都大于0，
则$a_n^2＞0$，${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{2}{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}-{a}_{n}=\frac{1}{2}{{a}_{n}}^{2}＞0$，
所以数列{a_n}是递增数列，
因为a₁=1，所以当n≥2时有a_n＞1…（3分）
因为${a_{n+1}}-\frac{a_n}{2}-\frac{7}{8}=\frac{1}{2}{a_n}^2+\frac{a_n}{2}-\frac{7}{8}$=$\frac{1}{2}{（{a_n}+\frac{1}{2}）^2}-1$
所以$\frac{1}{2}{（{a_n}+\frac{1}{2}）^2}-1≥\frac{1}{2}{（1+\frac{1}{2}）^2}-1=\frac{1}{8}＞0$．
综上，${a_{n+1}}＞\frac{a_n}{2}+\frac{7}{8}$．…（6分）
（Ⅲ）因为a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），且f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x，
所以 $\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{\frac{1}{2}a_n^2+{a_n}}}=\frac{2}{{{a_n}（2+{a_n}）}}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{2+{a_n}}}$，…（8分）
所以$\frac{1}{{2+{a_n}}}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$．
所以$\frac{1}{{2+{a_1}}}+\frac{1}{{2+{a_2}}}+…+\frac{1}{{2+{a_n}}}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$
=$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=1-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$．…（10分）
由（Ⅱ）得，${a_{n+1}}＞\frac{a_n}{2}+\frac{7}{8}$，所以${a}_{n+1}＞\frac{{a}_{3}}{2}+\frac{7}{8}$＞2，
即 $\frac{1}{2}＜1-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}＜1$，…（12分）
所以$\frac{1}{2}＜\frac{1}{{1+{a_1}}}+\frac{1}{{1+{a_2}}}+…+\frac{1}{{1+{a_n}}}＜1\;\;（n≥2\;，\;n∈{N^*}）$…（13分）

点评 本题考查了数列递推公式的化简、灵活应用，以及裂项相消法、放缩法的应用，是数列与不等式结合的综合题，属于难题．