Question

4．如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2，点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB，PC
（Ⅰ）求证：BC⊥PB
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件AD∥BC，PA⊥AD，从而得到BC⊥PA，再由BC⊥AB，即可得到BC⊥平面PAB，从而得出BC⊥PB；
（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB即可得到PA⊥平面ABCD，从而连接AC，∠PCA便是PC与平面ABCD所成角，从而求出AC，PC的长，在直角三角形PAC中即可求出cos∠PCA．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵A、D分别是RB、RC的中点；
∴AD∥BC，∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°；
∴PA⊥AD，PA⊥BC；
又BC⊥AB，PA∩AB=A；
∴BC⊥平面PAB；
∵PB?平面PAB；
∴BC⊥PB；
（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB，AD∩AB=A；
∴PA⊥平面ABCD；
连接AC，则∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角；
∵AB=1，BC=2，∴AC=$\sqrt{5}$；
又PA=1，PA⊥AC，∴PC=$\sqrt{6}$；
∴在Rt△PAC中，cos$∠PCA=\frac{AC}{PC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$；
∴PC与平面ABCD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 考查三角形中位线的性质，弄清折叠前后不变的量，线面垂直的判定定理及其性质，线面角的概念及求法，直角三角形边的关系．