Question

20．函数y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=-2（m＞0，n＞0）上，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 函数y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）过定点A（-1，-2），可得m+2n=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：函数y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）过定点A（-1，-2），
∵点A在直线mx+ny=-2（m＞0，n＞0）上，∴-m-2n=-2，即m+2n=2．
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}（m+2n）（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{2}（3+\frac{m}{n}+\frac{2n}{m}）$$≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{2n}{m}}）$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当$\frac{m}{n}$=$\frac{2n}{m}$时，即m=$\sqrt{2}$n时，不等式成立．
故选：C．

点评 本题考查了指数函数的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．