Question

5．对于任意实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，[x]表示不小于x的最小整数，若x₁，x₂，…，x_m（0≤x₁＜x₂＜…＜x_m≤6）是区间[0，6]中满足方程[x]•{x}•[x]=1的一切实数，则x₁+x₂+…+x_m的值是$\frac{95}{6}$．

Answer 1

分析 根据新定义，[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，需要分类讨论，根据条件得到x=a+$\frac{1}{a（a+1）}$，继而求出a的可能值，最后代入计算即可．

解答 解：显然，x不可能是整数，否则由于{x}=0，方程[x]•{x}•]，x=1不可能成立．设[x]=a，
则{x}=x-a，x=a+1，代入得a（x-a）（a+1）=1，解得x=a+$\frac{1}{a（a+1）}$．
考虑到x∈[0，6]，且[x]≠0，所以a=1，2，3，4，5，故符合条件的解有5个，即m=5，
则x₁+x₂+…+x_m=x₁+x₂+…+x₅=$\frac{5（5+1）}{2}$+1-$\frac{1}{5+1}$=$\frac{95}{6}$，
故答案为：$\frac{95}{6}$．

点评 本题考查了函数的值，需要分类进行讨论，新定义一般需要认真读题，理解题意，灵活利用已知定义，属于中档题．