Question

10．已知α为第二象限角，且$\frac{1-tanα}{1+tanα}$=$\frac{4}{3}$，则tan（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）=-3，sin（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinα和cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得sin（α+$\frac{π}{4}$）和cos（α+$\frac{π}{4}$）的值，利用半径公式求得 tan（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）的值．再求的sin$\frac{π}{12}$ 和cos$\frac{π}{12}$的值，可得sin（α+$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：∵a为第二象限角，且$\frac{1-tanα}{1+tanα}$=$\frac{4}{3}$，∴tanα=-$\frac{1}{7}$=$\frac{sinα}{cosα}$，
又 sin²α+cos²α=1，∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，cosα=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{3}{5}$，
cos（α+$\frac{π}{4}$）=cosαcos$\frac{π}{4}$-sinαsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{4}{5}$．
∴tan（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）=$\frac{1-cos（α+\frac{π}{4}）}{sin（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{1+\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$=-3．
∵sin$\frac{π}{12}$=$\sqrt{\frac{1-cos\frac{π}{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，cos$\frac{π}{12}$=$\sqrt{\frac{1+cos\frac{π}{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
sin（α+$\frac{π}{12}$）=sinαcos$\frac{π}{12}$+cosαsin$\frac{π}{12}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．
故答案为：-3；$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．