Question

15．已知函数f（x）=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$，若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＜0或a≥$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，$\frac{2}{x}$+2x≥$\frac{1}{a}$在（0，+∞）上恒成立；再利用基本不等式可得4≥$\frac{1}{a}$在（0，+∞）上恒成立；从而解得．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$，
∴f（x）+2x≥0可化为-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$+2x≥0，
即$\frac{2}{x}$+2x≥$\frac{1}{a}$在（0，+∞）上恒成立；
又∵$\frac{2}{x}$+2x≥2$\sqrt{\frac{2}{x}•2x}$=4；
（当且仅当$\frac{2}{x}$=2x，即x=1时，等号成立）；
∴4≥$\frac{1}{a}$在（0，+∞）上恒成立；
即a＜0或a≥$\frac{1}{4}$；
故答案为：a＜0或a≥$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的最值的求法及基本不等式的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．