Question

10．如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2$\sqrt{3}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，由$2c=2\sqrt{3}∴c=\sqrt{3}$继而求出b²=a²-c²=1，继而得出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+2，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（4k²+1）x²+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x₁x₂+y₁y₂=0．代入求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，∵2a=4∴a=2…（1分）
∵$2c=2\sqrt{3}∴c=\sqrt{3}$…（2分）∴b²=a²-c²=1…（3分）
所以，椭圆的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）法一：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB．
①当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴的端点，不符合题意  …（5分）
②当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为：y=kx+2
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（4k²+1）x²+16kx+12=0…（6分）
令△＞0，得：（16k）²-4•（4k²+1）•12=4k²-3＞0∴${k^2}＞\frac{3}{4}$…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{4{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{12}{{4{k^2}+1}}$…（8分）
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$=$\frac{12}{{4{k^2}+1}}-\frac{{32{k^2}}}{{4{k^2}+1}}+4$=$\frac{{-20{k^2}}}{{4{k^2}+1}}+4=\frac{{4-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$…（9分）
∵OA⊥OB∴x₁x₂+y₁y₂=0…（10分）∴$\frac{{12{k^2}}}{{4{k^2}+1}}+\frac{{4-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}=0$∴${k^2}=4＞\frac{3}{4}$∴k=±2…（11分）
∴直线l的方程为：y=±2x+2，即2x-y+2=0或2x+y-2=0，
所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x-y+2=0或2x+y-2=0．…（12分）
（Ⅱ）法二：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB，设直线l的方程为：x=m（y-2）…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=m（y-2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（m²+4）y²-4m²y+4m²-4=0…（6分）
令△＞0，得：16m⁴-4•（m²+4）•（4m²-4）=64-48m²＞0∴$0≤{m^2}＜\frac{4}{3}$…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=\frac{{4{m^2}}}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{{m^2}+4}}$…（8分）
又${x_1}{x_2}=m（{y_1}-2）•m（{y_2}-2）={m^2}[{y_1}{y_2}-2（{y_1}+{y_2}）+4]$=$\frac{{12{m^2}}}{{{m^2}+4}}$…（9分）
∵OA⊥OB∴x₁x₂+y₁y₂=0…（10分）
∴$\frac{{12{m^2}}}{{{m^2}+4}}+\frac{{4{m^2}-4}}{{{m^2}+4}}=0$∴${m^2}=\frac{1}{4}＜\frac{4}{3}$，
∴$m=±\frac{1}{2}$…（11分）∴所求直线的方程为：$x=±\frac{1}{2}（y-2）$，即2x-y+2=0或2x+y-2=0
所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x-y+2=0或2x+y-2=0…（12分）

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合题，属于难度较大的题目，计算量大，在高考中经常在压轴题中出现．