Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴为4，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是圆x²+y²=b²上第一象限内的任意一点，过P作圆的切线交椭圆C于Q，R两点，F为椭圆的右焦点，求FQ+FR的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得a=2，c=$\sqrt{3}$，于是${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}=1$，求得椭圆C的方程
（2）直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，得$\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，m²=1+k²．再由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．两者结合得到结论

解答 解：（1）由已知得a=2，c=$\sqrt{3}$，
于是${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}=1$，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$． …（4分）
（2）解法一：由（1）知F（$\sqrt{3}，0$）．设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}=1$，0＜x₁＜2，0＜x₂＜2，．
|FQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-\sqrt{3}）^{2}+{y}_{1}^{2}}=\sqrt{{x}_{1}^{2}-2\sqrt{3}{x}_{1}+3+1-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}$
=$\sqrt{4-2\sqrt{3}{x}_{1}+\frac{3}{4}{x}_{1}^{2}}=|2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}|=2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}$．  …（6分）
同理可得|FR|=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}$．
于是|FQ|+|FR|=$（2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}）+（2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}）=4-\frac{\sqrt{3}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$． …（8分）
设切线方程为y=kx+m，m＞0，k＜0．
直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，得$\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，m²=1+k²．…（10分）
再由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
由求根公式得${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$． …（12分）
又m²=1+k²，于是|FQ|+|FR|=4$+\frac{4\sqrt{3}km}{1+4{k}^{2}}=4+\frac{4\sqrt{3}km}{{m}^{2}+3{k}^{2}}$．
又${m}^{2}+3{k}^{2}≥-2\sqrt{3}km$，所以$\frac{-2\sqrt{3}km}{{m}^{2}+3{k}^{2}}≤1$，于是$\frac{2\sqrt{3}km}{{m}^{2}+3{k}^{2}}≥1$，
所以|FQ|+|FR|≥4-2=2，当$k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$m=\frac{\sqrt{6}}{2}$时，等号成立，
所以|FQ|+|FR|的最小值为2． …（16分）
解法二：设Q（x₁，y₁）R（x₂，y₂）．
由椭圆的第二定义知|FQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}（\frac{4\sqrt{3}}{3}-{x}_{1}）=2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}$，
同理|FR|=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}$．
∴|FQ|+|FR|=4-$\frac{\sqrt{3}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$  …（8分）
由（1）知圆的方程为x²+y²=1．
设P（x₀，y₀），因为点P在第一象限，∴x₀∈（0，1），
切线PQ的方程可设为x₀x+y₀y=1． …（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+{y}_{0}y=1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$ 得（4${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$）${x}^{2}-8{x}_{0}x+4-4{y}_{0}^{2}=0$，
由${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=1$得（1+3${x}_{0}^{2}$）x²-8x₀x+4=0．
由求根公式得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{x}_{0}}{1+3{x}_{0}^{2}}$．…（12分）
∴|FQ|+|FR|=$4-\frac{\sqrt{3}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）=4-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{8{x}_{0}}{1+3{x}_{0}^{2}}$=$4-\frac{4\sqrt{3}{x}_{0}}{1+3{x}_{0}^{2}}$．
x₀∈（0，1），∴|FQ|+|FR|$≥4-\frac{4\sqrt{3}{x}_{0}}{2\sqrt{3}{x}_{0}}=4-2=2$，
当且仅当${x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号，所以|FQ|+|FR|的最小值为2．…（16分）

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难度较大的题，高考压轴题常涉及