Question

2．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0），若f（x）在区间[$\frac{1}{3}$，1]上具有单调性，且f（0）=f（$\frac{2}{3}$）=-f（1），则下列有关f（x）的命题正确的有①③④⑤（把所有正确的命题序号都写上）
①f（x）的最小正周期为2；
②f（x）在[1，$\frac{5}{3}$]上具有单调性；
③当x=$\frac{1}{3}$时，函数f（x）取得最值；
④y=f（x+$\frac{5}{6}$）为奇函数；
⑤（-$\frac{φ}{ω}$，-φ）是y=f（x）+ωx图象的一个对称中心．

Answer 1

分析 根据三角函数的单调性，和取得情况，求出函数的对称性和对称中心，结合函数奇偶性和单调性之间的关系分别进行判断即可．

解答 解：∵f（0）=f（$\frac{2}{3}$），∴x=$\frac{0+\frac{2}{3}}{2}=\frac{1}{3}$是函数的一个对称轴，
故当x=$\frac{1}{3}$时，函数f（x）取得最值，故③正确，
∵f（0）=f（$\frac{2}{3}$）=-f（1），
∴函数的一个对称中心为（$\frac{5}{6}$，0），
∵f（x）在区间[$\frac{1}{3}$，1]上具有单调性，
∴函数的周期T=4（$\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$）=4×$\frac{1}{2}=2$，故①正确，
由①知函数的周期是2，x=$\frac{1}{3}$是函数的一个对称轴，
则函数在[$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]上单调函数，在[$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{3}$]上单调函数，故在[1，$\frac{5}{3}$]上不具有单调性，故②错误，
∵函数的一个对称中心为（$\frac{5}{6}$，0），
∴将函数f（x）向左平移$\frac{5}{6}$个单位得到y=f（x+$\frac{5}{6}$），
此时函数关于原点对称，即y=f（x+$\frac{5}{6}$）是奇函数，故④正确，
⑤f（-$\frac{φ}{ω}$）=sin[ω（-$\frac{φ}{ω}$）+φ]=sin（-φ+φ）=0，
则当x=-$\frac{φ}{ω}$时，y=f（-$\frac{φ}{ω}$）+ω（-$\frac{φ}{ω}$）=0-φ=-φ，
即（-$\frac{φ}{ω}$，-φ）是y=f（x）+ωx图象的一个对称中心．故⑤正确，
故正确的是①③④⑤，
故答案为：①③④⑤

点评 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据条件求出函数的对称轴和对称中心是解决本题的关键．要求熟练掌握三角函数的图象和性质．