Question

7．已知F为抛物线y²=4x的焦点，过点F引一条直线与抛物线交于A、B两点，与抛物线准线交于D点．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）在抛物线上是否存在一点M，使直线MA，MD，MB的斜率成等差数列，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则联立方程化简可得y²-4my-4=0，从而可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-3；
（Ⅱ）设M（a²，2a），则k_MA=$\frac{{y}_{1}-2a}{{x}_{1}-{a}^{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$，k_MB=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$，k_MD=$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$，可得2×$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$+$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$恒成立，从而可a²-1）（m+$\frac{1}{m}$）=0，即可求出点M的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（ 1，0），∴直线AB的方程为x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程得y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，x₁•x₂=1，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-3；
（Ⅱ）设M（a²，2a），
k_MA=$\frac{{y}_{1}-2a}{{x}_{1}-{a}^{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$，
同理，k_MB=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$，k_MD=$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$，
∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，
∴2×$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$+$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$恒成立；
又∵y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴（a²-1）（m+$\frac{1}{m}$）=0，
∴a=±1，
∴存在点M（1，2）或M（1，-2），使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，同时考查了学生的化简能力，属于中档题．