Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^•）．若存在正实数λ使得数列|a_n+1+λa_n|为等比数列，则λ=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 通过变形可得a_n+2+λa_n+1=（1+λ）（a_n+1+$\frac{1}{1+λ}$a_n），只需$\frac{1}{1+λ}$=λ，计算即得结论．

解答 解：由题意可知：a_n+2+λa_n+1=（1+λ）a_n+1+a_n=（1+λ）（a_n+1+$\frac{1}{1+λ}$a_n），
∴$\frac{1}{1+λ}$=λ，解得：λ=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或λ=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
∵a₁=a₂=1，∴a₃=2，
易验证当n=1时满足题意，
故答案为：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查等比数列的概念，注意解题方法的积累，属于中档题．