Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC；
（Ⅲ）若AB=2BC，求二面角A-BC-E的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC∩BD=O，连接OE．证明OE∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面BDE．
（Ⅱ）通过证明BC⊥平面PAB，然后证明PA⊥BE．BE⊥PC留言在线与平面垂直的判定定理证明∴BE⊥平面PAC．（Ⅲ）说明∠ABP即为二面角A-BC-E的平面角，通过求解三角形即可得到二面角的大小．

解答 （本题13分）（文科）
（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE．…（1 分）
∵底面ABCD为矩形，
∴O为AC的中点．
∵E为PC的中点，
∴OE∥PA．…（3 分）
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（4 分）
（Ⅱ）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
平面PAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB．…（5 分）
∵PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．…（6 分）
∵PA⊥PB，BC∩PB=B，
∴PA⊥平面PBC．…（7 分）
∵BE?平面PBC，
∴PA⊥BE．…（8 分）
∵BP=BC，E为PC的中点，
∴BE⊥PC．…（9 分）
∵PA∩PC=P，
∴BE⊥平面PAC．…（10分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知BC⊥平面PAB，
故∠ABP即为二面角A-BC-E的平面角．…（11分）
∵在Rt△APB中，∠APB=90°，AB=2BC=2BP，
∴∠BAP=30°，∠ABP=60°．
∴二面角A-BC-E为60°．…（13分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力，以及计算能力．