Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=1，记|$\overrightarrow{c}$|的最大值为M，最小值为m，则M+m=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=1的几何意义可知，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，则△ABC是等边三角形，得到$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}$，得到C在以D为圆心的单位圆上，得到|$\overrightarrow{c}$|的最大值，最小值．

解答 解：由题意，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，因为|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=1，则△ABC是等边三角形，
设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AE}$，则E在以D为圆心的单位圆上，如图


所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值为M=$\sqrt{3}+1$，最小值为m=$\sqrt{3}-1$，则M+m=2$\sqrt{3}$；
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的几何意义的运用；关键是由已知的等式得到向量的位置关系．