Question

4．已知映射f：P（m，n）→P′（$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$）（m≥0，n≥0）．设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由中点坐标公式得到M（3，5），由已知得到点M′的坐标是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
（2）求点M′的轨迹方程，根据范围确定路径的长度．

解答 解：（1）∵点M是线段AB的中点，由中点坐标公式，
∴M（3，5），由已知映射f：P（m，n）→P′（$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$）（m≥0，n≥0），
∴点M′的坐标是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
（2）设M′（x，y），则M（x²，y²），线段AB方程为：x+y=8（2≤x≤4）
∴对应点M′为x²+y²=8（$\sqrt{2}$≤x≤2，2≤y≤$\sqrt{6}$），
∴路径为一段圆弧，圆心角为15°，
∴点M的对应点M′所经过的路线长度为8π×$\frac{15}{360}$=$\frac{π}{3}$．

点评 主要考查轨迹问题，曲线与方程的运用，学生的灵活应用能力与计算能力．