Question

9．如图4，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM，AN，MN．
（1）若PA=AB，求证：AN⊥平面PBC．
（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥面PAB，可得BC⊥AN，利用PA=AB，点N是PB的中点，可得AN⊥PB，即可证明AN⊥平面PBC；
（2）求二面角N-AM-B的余弦值，可采用找二面角的平面角的办法，因为易证平面PAB⊥平面ABCD，所以可以直接过N作AB的垂线垂足为G，则该垂线垂直于底面，然后过垂足G作AM的垂线GF，连接NF，则二面角的平面角找出，然后利用题目给出的条件，通过解直角三角形进行求解即可．

解答 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵ABCD为正方形，∴BC⊥AB；
又PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB，
∵AN?面PAB，
∴BC⊥AN，
∵PA=AB，点N是PB的中点，
∴AN⊥PB，
∵PB∩BC=B，
∴AN⊥平面PBC；
（2）解：取AB中点G，连结NG，则NG∥PA，PA⊥面ABCD，
∴NG⊥面ABCD．
∵AM?面ABCD，
∴NG⊥AM．
过G作GF⊥AM，垂足为F，连接NF，
∵NG∩GF=G，NG?面NGF，GF?面NGF，
∴AM⊥面NGF．
∵NF?面NGF，
∴AM⊥NF．
∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．
在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG=4，
在Rt△MGA中，AG=$\frac{3}{2}$，得AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，GF=$\frac{AG•MG}{AM}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△NGF中，NF=$\sqrt{N{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{445}}{5}$，
∴cos∠NFG=$\frac{GF}{NF}$=$\frac{3\sqrt{89}}{89}$．
∴二面角N-AM-B的余弦值为$\frac{3\sqrt{89}}{89}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．