Question

20．已知圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t+m}\end{array}\right.$（t是参数）．若直线l与圆C相切，求正数m的值．

Answer 1

分析 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，化简圆C的方程为普通方程，运用代入法求得直线的普通方程，再由直线和圆相切的条件d=r，解方程可得m．

解答 解：由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ，所以x²+y²-4y=0，
即圆C方程为x²+（y-2）²=4．其圆心为（0，2），半径为2．
又由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t+m}\end{array}\right.$（t是参数）．消t得x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$m=0，
因为直线l与圆C相切，所以$\frac{|-2\sqrt{3}+\sqrt{3}m|}{2}$=2，得m=2±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
又m＞0，所以m=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，主要考查直线和圆的位置关系：相切的条件，属于中档题．