Question

10．若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程①x²-y²=1；②y=x²-|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$；⑤$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1对应的曲线中存在“自公切线”的有②③．

Answer 1

分析 ①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②在x=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{1}{2}$处的切线都是y=-$\frac{1}{4}$，故②有自公切线．
③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④结合图象可得，此曲线没有自公切线．
⑤$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，根据“自公切线”的定义，此曲线没有自公切线．

解答 解：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②y=x²-|x|，在x=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{1}{2}$处的切线都是y=-$\frac{1}{4}$，故②有自公切线．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④由于|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$，即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
⑤$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，根据“自公切线”的定义，此曲线没有自公切线．
故答案为：②③．

点评 正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．