Question

1．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，且y₁y₂=-4．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）若k=1，O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），代入抛物线，消x，利用y₁y₂=-4，求出p，即可求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|，求△OAB的面积．

解答 解：（Ⅰ）F（$\frac{p}{2}$，0），设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），…（2分）
代入抛物线，消x，得：ky²-2py-kp²=0，…（4分）
∴y₁y₂=-p²=-4，从而p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．     …（6分）
（Ⅱ）由已知，F（1，0），直线AB的方程为y=x-1，
代入抛物线，消x，得：y²-4y-4=0，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16}$=2$\sqrt{2}$…（15分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．