Question

11．已知a_n+1=2a_n+3（n∈N^*），且a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S₂₀．

Answer 1

分析 （1）将递推公式化为：a_n+1+3=2（a_n+3），利用等比数列的定义判断出数列{a_n+3}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）求出的通项公式a_n，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出S₂₀．

解答 解：（1）由题意得，a_n+1=2a_n+3，则a_n+1+3=2（a_n+3），
所以$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$，
又a₁=1，则a₁+3=4，
所以数列{a_n+3}是以4为首项、2为公比的等比数列，
所以a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，则a_n=2ⁿ⁺¹-3；
（2）由（1）得，S₂₀=（2²-3）+（2³-3）+…+（2²¹-3）
=2²+2³+…+2²¹-3×20
=$\frac{4（1-{2}^{20}）}{1-2}$-60=2²²-64．

点评 本题考查了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及分组求和法、构造法的应用，属于中档题．