Question

8．定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+p+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“调和倒数”．若数列{a_n}的前n项的“调和倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{9}{b}_{10}}$=$\frac{9}{40}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项的“调和倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，设数列{a_n}的前n项和为S_n，可得$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，即S_n=2n²+n，利用递推式可得a_n=4n-1．可得b_n=2n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项的“调和倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，设数列{a_n}的前n项和为S_n，
∴$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴S_n=n（2n+1）=2n²+n，
当n=1时，a₁=S₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，
当n=1时，上式也成立，∴a_n=4n-1．
∴又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=2n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{9}{b}_{10}}$=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{10}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{10}）$=$\frac{9}{40}$．
故答案为：$\frac{9}{40}$．

点评 本题考查了新定义“调和倒数”、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．