Question

16．在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，2c²-2a²=b²．
（I）证明2ccosA-2acosC=b    
（Ⅱ）若a=1，tanA=$\frac{1}{3}$，求△ABC的面积s．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理把cosA和cosC的表达式代入等号左边整理，结合已知条件证明出结论．
（Ⅱ）利用正弦定理把（Ⅰ）中的结论中边转化成角的正弦整理可求得tanC，进而求得C，再利用正弦定理求得c，利用余弦定理求得b，最后利用三角形面积公式求得三角形的面积．

解答 （Ⅰ）证明：因为2c²-2a²=b²，
所以2ccosA-2acosC=2c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-2a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{b}$-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$=$\frac{2{c}^{2}-2{a}^{2}}{b}$=b．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及sinB=sin（A+C）得
2sinCcosA-2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，
即sinCcosA=3sinAcosC，
又cosAcosC≠0，所以tanC=3tanA=1，故C=45°．
tanA=$\frac{1}{3}$，即为$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{1}{3}$，sin²A+cos²A=1，可得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
再由正弦定理及sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$得c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\sqrt{5}$，
于是b²=2（c²-a²）=8，b=2$\sqrt{2}$，
从而S=$\frac{1}{2}$absinC=1．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．熟练综合运用正弦定理和余弦定理公式是解决三角形问题的关键．