Question

6．特种运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶在500千米的路段上（50≤x≤a），a为公路的最高限速（a＞50），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油（2+$\frac{{x}^{2}}{400}$）升，司机的工资是每小时84元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式
（2）当卡车以什么速度行驶时，这次行车的总费用最低．

Answer 1

分析 （1）由题意得y=[6（2+$\frac{{x}^{2}}{400}$）+84]$\frac{500}{x}$，化简即可；
（2）当a＜80时，可判断y=$\frac{48000}{x}$+$\frac{15x}{2}$在[50，a]上是减函数；当a≥80时，利用基本不等式确定最小值点即可．

解答 解：（1）由题意得，
y=[6（2+$\frac{{x}^{2}}{400}$）+84]$\frac{500}{x}$
=$\frac{48000}{x}$+$\frac{15x}{2}$，（50≤x≤a）；
（2）当a＜80时，
易知y=$\frac{48000}{x}$+$\frac{15x}{2}$在[50，a]上是减函数；
故当卡车以每小时a千米的速度行驶时，这次行车的总费用最低．
当a≥80时，$\frac{48000}{x}$+$\frac{15x}{2}$≥2$\sqrt{\frac{48000}{x}•\frac{15x}{2}}$=120$\sqrt{10}$；
（当且仅当$\frac{48000}{x}$=$\frac{15x}{2}$，即x=80时，等号成立）；
则当卡车以每小时80千米的速度行驶时，这次行车的总费用最低．

点评 本题考查了函数及基本不等式在实际问题中的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．