Question

20．如图，△BCD与△ECD都是边长为2的正三角形，平面ECD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求点A到平面EBC的距离；
（Ⅲ）求平面ACE与平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明A，B，F，E共面，CD⊥BF，AB⊥CD，即可证明：CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）可以利用等体积法，CF即为C点到平面ABE的距离，求出三角形ABE的面积可得结论；
（Ⅲ）延长AE与BF延长线交于点O，连CO，则CO是平面ACE与面BCD的交线，F是BO的中点，作FG⊥CO，连接EG，则∠EGF为平面ACE与平面BCD所成二面角的平面角，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：取CD的中点F，连接BF，EF，则EF⊥CD，
∵平面ECD⊥平面BCD，平面ECD∩平面BCD=CD，
∴EF⊥平面BCD，
∵AB⊥平面BCD，
∴EF∥AB，
∴A，B，F，E共面，
∵△BCD是正三角形，F是CD的中点，
∴CD⊥BF，
∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵AB∩BF=B，
∴CD⊥平面ABF，即CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）解：由上知，CF即为C点到平面ABE的距离，
△BEC中，BC=2，CE=2，BE=$\sqrt{6}$，S_△BEC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
设点A到平面EBC的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$；
（Ⅲ）解：延长AE与BF延长线交于点O，连CO，
则CO是平面ACE与面BCD的交线，F是BO的中点，
作FG⊥CO，连接EG，则∠EGF为平面ACE与平面BCD所成二面角的平面角
在△EFG中，EF=$\sqrt{3}$，FG=1，EG=2
∴平面BCD与平面ACE所成二面角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查点A到平面BCE的距离的求法，证明CD⊥平面ACE，求平面BCD与平面ACE所成二面角的大小，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．