Question

15．已知命题：
①如果对于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$；
②命题“?x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x+1＜0”；
③在△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞B；
④函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$在$[{0，\frac{π}{6}}]$上为增函数．
以上命题中正确的是①（填写所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①构造新函数利用单调性求解；②存在性命题的否定是结论要否；③在三角形中充分考虑角度的正弦变化情况；④先求出函数的单调递增区间，看看是否含有所给区间．

解答 解：①n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立?（n+1）a≥-n²+4n-3=-（n+1）²+6（n+1）-8恒成立，
∵n∈N^*，
∴a≥-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$+6恒成立，
∴a≥[-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$]_max+6恒成立；
∵函数g（n）=（n+1）+$\frac{8}{n+1}$在[1，2$\sqrt{2}$-1]上单调递减，在[2$\sqrt{2}$-1，+∞）上单调递增，又n∈N^*，
g（1）=2+4=6，g（2）=3+$\frac{8}{3}$＜g（3）=6，
∴g（n）_min=g（2）=$\frac{17}{3}$，[-（n+1）-$\frac{8}{n+1}$]_max=-g（n）_min=-$\frac{17}{3}$，
∴m＞-$\frac{17}{3}$+6=$\frac{1}{3}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞），故①对．
②命题“?x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x+1≥0”故②错；
③在△ABC中，A＞B，例如A=120°，B=60°，但是sinA=sinB．故③错；
④2kπ-$\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$；
∴kπ-$\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$
∴函数得增区间为[$kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}$]，故④错；
故答案为：①

点评 本题主要考查简易逻辑，考查的知识点多种需要较好的基础功底，常考题型．