Question

4．某中学校本课程开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．
（Ⅰ）求在D课程没有被选中的条件下，A课程被甲选中的概率；
（Ⅱ）记“这3名学生选择A课程的人数”为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用条件概率的概念求出n（E）=3×3×3=27，n（EF）=3×3=9，继而得出结论．
（2）两种方法处理此题，一种是常规的方法，一种是独立重复试验利用二项分布解题．

解答 解：（1）设“D课程没有被选中”为事件E，“甲选择了A课程”为事件F，
则n（E）=3×3×3=27，n（EF）=3×3=9，则P（E|F）=$\frac{n（EF）}{n（F）}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$，
（2）解法一：X的所有可能取值为0，1，2，3，且
P（X=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{27}{64}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{3}^{2}}{{4}^{3}}=\frac{27}{64}$，
P（X=2）$\frac{{C}_{3}^{2}}{{4}^{3}}=\frac{9}{64}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{1}{64}$
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以X的数学期望EX=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$
解法二：因为A选修课被每位同学选中的概率均为$\frac{1}{4}$，没被选中的概率均为$\frac{3}{4}$，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$）
P（X=0）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{4}×（\frac{3}{4}）^{2}=\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}×\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$，P（X=3）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以X的数学期望EX=3×$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

点评 本题主要考查了条件概率的求解方法和独立重复试验的思路，属常考题型．