Question

9．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+y≥1\end{array}$，则不等式x²+$\frac{y^2}{2}$≤λ有解的实数λ的最小值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 令${x^2}+\frac{y^2}{2}=t\;（t＞0）$，把不等式x²+$\frac{y^2}{2}$≤λ有解转化为求x²+$\frac{y^2}{2}$的最小值，由椭圆${x^2}+\frac{y^2}{2}=t$与线段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切，判别式等于0求得t的值．

解答 解：令${x^2}+\frac{y^2}{2}=t\;（t＞0）$，当椭圆${x^2}+\frac{y^2}{2}=t$与线段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切时，t最小．
如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{2}=t\\ x+y=1\end{array}\right.$，消去y得3x²-2x+1-2t=0，
由△=（-2）²-4×3×（1-2t）=0，得$t=\frac{1}{3}$．
即$λ≥\frac{1}{3}$，∴实数λ的最小值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查数学转化思想方法，关键是利用椭圆${x^2}+\frac{y^2}{2}=t$与线段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切求出x²+$\frac{y^2}{2}$的最小值，是中档题．