Question

10．已知函数f（x）=$\frac{alnx+b}{{e}^{x}}$（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2-$\frac{1}{a}$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得a，b的方程，解方程可得a=e，b=1-e；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，由x=e，求得导数，再由x＞e，结合对数的性质可得减区间，由0＜x＜e可得增区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{alnx+b}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{a-bx-axlnx}{x{e}^{x}}$（x＞0），
由f′（1）=2-$\frac{1}{a}$，得$\frac{a-b}{e}$=2-$\frac{1}{a}$，由a+b=1，可得$\frac{2a-1}{e}$=2-$\frac{1}{a}$，
即$\frac{2a-1}{e}$=$\frac{2a-1}{a}$，由a＞b，a$≠\frac{1}{2}$，则a=e，b=1-e；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=$\frac{e+（e-1）x-exlnx}{x{e}^{x}}$（x＞0），
即f′（x）=$\frac{e-x+ex（1-lnx）}{x{e}^{x}}$（x＞0），
由x=e时，f′（e）=0，且x＞e，e-x＞0，ex（1-lnx）＜0，
故f′（x）＜0，同理0＜x＜e，f′（x）＞0，
于是函数的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用函数的性质是解题的关键，属于中档题．