Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n+3=3a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n+1）log${\;}_{\sqrt{3}}$a_n，记T_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$，求证：2T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）通过令n=1可得首项a₁=3，当n≥2时，利用2S_n+3=3a_n与2S_n-1+3=3a_n-1的差可得公比，进而可得结论；
（II）通过b_n=2n（n+1），分离分母可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 （I）解：当n=1时，2S₁+3=2a₁+3=3a₁，得a₁=3，
当n≥2时，2S_n+3=3a_n           …①
2S_n-1+3=3a_n-1         …②
①-②，得：2a_n=3a_n-3a_n-1，即a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}为公比为3，首项为3的等比数列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）；
（II）证明：∵b_n=（n+1）log${\;}_{\sqrt{3}}$3ⁿ=2n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
＜$\frac{1}{2}$，
∴2T_n＜1．

点评 本题考查求数列的通项和前n项和的取值范围，注意解题方法的积累，属于中档题．