Question

8．测量马口鱼性成熟时重量，从大量马口鱼中随机抽取100尾作为样本，测出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到重量样本的频率分布直方图，如图．
（1）求a的值；
（2）若重量在（25，35]，（35，45]中采用分层抽样方法抽出8尾作为特别实验，那么在（35，45]中需取出几尾？
（3）从大量马口鱼中机抽取3尾，其中重量在（5，15]内的尾数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用频率分布直方图，概率和为1，求解即可．
（2）结合频率分布直方图，利用分层抽样求解即可．
（3）求出重量在（5，15]内的尾数为ξ的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）由题意，得（0.02+0.032+x+0.018）×10=1，
解得x=0.03．…（2分）
（2）（25，35]，（35，4]频数分别30个和18个，按分层抽样知 （35，45]中取$8×\frac{18}{48}$=3个…（4分）
（3）利用样本估计总体，马口鱼重量在（5，15]内性成熟的概率为0.2，则ξ：B（3，$\frac{1}{5}$）．
ξ的取值为0，1，2，3，…（6分）
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{5}×{（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}×\frac{4}{5}×{（\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}{（\frac{1}{5}）}^{3}$=$\frac{1}{125}$．…（10分）

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∴ξ的分布列为：--------------11分
∴Eξ=0×$\frac{64}{125}$+1×$\frac{48}{125}$+2×$\frac{12}{125}$+3×$\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）
（或者Eξ=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．