Question

18．已知函数f（x）=2sin$（{x-\frac{α}{2}}）cos（{x-\frac{α}{2}}）+2\sqrt{3}{cos^2}（{x-\frac{α}{2}}）-\sqrt{3}$，其图象过点$（{\frac{π}{12}，0}）$，且α∈[0，π]．
（I）求α的值及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式整理化简，进而求得函数的最小正周期；把图象过点代入函数解析式求得cosα的值，进而求得α．
（Ⅱ）利用正弦函数的图象和性质求得函数的单调增区间．

解答 解：（I）f（x）=2sin$（{x-\frac{α}{2}}）cos（{x-\frac{α}{2}}）+2\sqrt{3}{cos^2}（{x-\frac{α}{2}}）-\sqrt{3}$=sin（2x-α）+$\sqrt{3}$cos（2x-α）=2sin（2x-α+$\frac{π}{3}$）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵函数图象过点$（{\frac{π}{12}，0}）$，
∴2sin（$\frac{π}{6}$-α+$\frac{π}{3}$）=0，
∴cosα=0，
∵α∈[0，π]，
∴α=$\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）由（I）知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴f（x）的单调增区间为[0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查了两角和公式，二倍角公式的应用，三角函数图象与性质的运用．考查学生对基础知识的掌握和熟练应用能力．